DISTRBUSI POISSON

Nama      : Armada

NPM        : 36409196

Kelas       : 1ID05

Artikel  : Distribusi Poisson

DISTRIBUSI POISSON

A.Sejarah singkat distribusi poisson

Siméon Denis Poisson, dilahirkan di Pithiers pada tanggal 21 Juni 1781. poisson terkenal karena penerapan ilmu matematikanya dalam mekanika dan fisika. Ayahnya merupakan seorang prajurit biasa dan ketika ayahnya pensiun, beliau diberi sebuah jabatan adaministratif di desa kelahirannya. Ketika gerakan revolusi pecah, ayahnya tampil untuk memangku jabatan pemerintahan di daerah tersebut dan menjadi seseorang dengan banyak kepentingan. Poisson yang masih kecil dititipkan pada seorang perawat. Poisson dididik oleh ayahnya dan diarahkan untuk menjadi seorang dokter. Pamannya menawarkan diri unutk mengajari dia ilmu bedah.

Mula-mula pamannya menyuruh dia untuk membedah urat pada daun kol dengan menggunakan pisau bedah. Setelah dia biasa melakukannya dengan sempurna, pamannya mengizinkan untuk melakukan pembedahan pada pasien. Namun pada kasus pertamanya, pasien meninggal. Meskipun para dokter di daerah tersebut sudah meyakinkan dia bahwa hal tersebut adalah hal yang lumrah, Poisson bersumpah tidak mau menjadi dokter lagi. Pada suatu hari Poisson melihat salinan soal-soal sekolah Politeknik di antara surat-surat kantor ayahnya. Dia menjadi tertarik untuk masuk ke Politeknik. Pada usia 17 tahun dia masuk ke Ecole Politeknik. Bakatnya menarik perhatian dua orang gurunya yaiutu Laplace dan Langrange yang kelak kemudian hari menjadi sahabatnya sampai akhir hayatnya. Sebuah laporan ilmiah yang ia tulis mengenai metode beda hingga (finite differences) ketika berusia 18 tahun menarik perhatian Lagrange. Lagrange kemudian mempublikasikan karya Poisson tersebut diRecuil des Savants étrangers. Setelah Poisson berhasil menyelesaikan studinya, dia ditunjuk menjadi seorang pengajar di sekolahnya. Usaha dan karya ilmiahnya ada di sekitar 300 sampai 400 buah. Tulisannya dalam Traité de mécanique, dipublikasikan dalam dua volume pada tahun 1811 dan 1833, yang manjadi standar kerja dalam mekanika dalam waktu yang lama. Salah satu teorinya yaitu Traité mathématique de la chaleur tahun 1835 ditambah sebuah suplemen pada tahun 1837, dan karyanya yang lain adalah Recherches sur la probabilitié des jugements (1837). Recherches sur la probabilitié des jugements merupakan sebuah karya penting dalam ilmu probabilitas yang dipublikasikan pada tahun 1837. disitulah Distribusi Poisson pertama kali muncul.

Distribusi poisson melukiskan bahwa peluang sebuah kejadian acak akan terjadi pada waktu atau selang waktu tertentu. Maka probabilitas kejadian tersebut sangat kecil, tetapi jumlah usaha percobaan (trial) adalah sangat sehingga kejadian tersbut sebenarnya terjadi dalam waktu yang singkat.Poisson ingin suatu karya ilmiah yang dapat mencakup semua fisika, matematika, dan hasilnya adalah ketiga buku tersebut di atas. Karyanya dalam matematika murni yang paling terkenal adalah integral tertentu dan penerapan deret Fourier pada masalah fisika. Namanya banyak dibutuhkan pada berbagai bidang , misalnya integral Poisson, persamaan Poisson dalam teori potensial, tanda kurung Poisson dalam persamaan Differensial, Distribusi Poisson, rasio Poisson dalam elastisitas, dan konstanta Poisson dalm elastisitas. Poisson meninggal di Paris pada tanggal 25 April 1840.

B. Percobaan Distribusi Peluang Poisson

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :

1.  Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan     di  selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah

2. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit

.3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan

Definisi  Distribusi Peluang Poisson :

e : bilangan natural = 2.71828…

x : banyaknya unsur BERHASIL dalam sampel

m :  rata-rata keberhasilan

Perhatikan rumus yang digunakan! Peluang suatu kejadian Poisson hitung dari rata-rata populasi (m)

Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas-probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus binomial. Untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi poisson digunakan rumus sebagai berikut

P ( x ; μ ) = (e – μ. μ X ) / X !

Dimana : e = 2.71828

μ = rata – rata keberhasilan = n . p

x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel

n = Jumlah / ukuran populasi

p = probabilitas kelas sukses

Rumus Proses Poisson

Distribusi poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi,

misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita tertarik oleh

jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita

sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses

kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut :

1. Tingkat kedatangan rata-rata setiap unit waktu adalah konstant.

Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata–rata untuk periode jam

adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada

jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata–rata yaitu 36 kedatangan setiap ½

jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.

2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu

yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan

di menit berikutnya adalah sama.

3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek, semakin

pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kedatangan.

Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang

dapat melewati jalan masuk dalam waktu satu detik.

Untuk menghitung terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson digunakan rumus

sebagai berikut :

P ( x ) = (e –λ . t . (λ.t) x ) / X!

Dimana : λ = Tingkat rata–rata kedatangan tiap unit waktu

t = Jumlah unit waktu

x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu

C. Tabel Peluang Poisson

Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson (Statistika 2, hal 163-164)

Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial

Misal:              x          m = 4.5             m = 5.0

0          0.0111             0.0067

1          0.0500             0.0337

2          0.1125             0.0842

3          0.1687             0.1404

dst       dst                   dst

15        0.0001             0.0002

poisson(2; 4.5)          = 0.1125

poisson(x < 3; 4.5)    = poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)

= 0.0111 + 0.0500 + 0.1125 = 0.1736

poisson(x > 2;4.5)     = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +…+ poisson(15;4.5)

atau

= 1 – poisson(x £ 2)

= 1 – [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]

= 1 – [0.0111 + 0.0500 + 0.1125 ] = 1 – 0.1736 = 0.8264

Contoh 6 :

Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman.  Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat:

a. tidak ada kesalahan?(x = 0)

b. tidak lebih  dari 3 kesalahan?( x £ 3)

c. lebih dari 3 kesalahan?(x >3)

d. paling tidak ada 3 kesalahan (x ³ 3)

Jawab:

= 5

a. x = 0 dengan rumus?  hitung poisson(0; 5)

atau

dengan Tabel Distribusi Poisson

di bawah x:0 dengan  = 5.0 (0; 5.0) = 0.0067

b. x 3 dengan Tabel Distribusi Poisson  hitung

poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0)  =

0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650

c. x > 3 poisson( x 3; 5.0)=poisson(4; 5.0) + poisson(5; 5.0) + poisson (6; 5.0) +

poisson(7; 5.0) + … + poisson(15; 5.0)

atau

poisson(x >3) = 1 – poisson(x3)

= 1 – [poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) +                                                   poisson(3; 5.0)]

=  1 – [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404]

=  1 – 0.2650

=  0.7350

Pendekatan Poisson untuk Distribusi Binomial :

  • Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial, dilakukan jika n besar (n > 20) dan p sangat kecil (p < 0.01) dengan terlebih dahulu menetapkan  p dan kemudian menetapkan  m = n x p

Contoh 7

Dari 1 000 orang mahasiswa 2 orang mengaku selalu terlambat masuk kuliah setiap hari, jika pada suatu hari terdapat 5 000 mahasiswa, berapa peluang ada lebih dari 3 orang yang terlambat?

Kejadian Sukses : selalu terlambat masuk kuliah

p =  = 0.002                                           n = 5 000                     x > 3

jika diselesaikan dengan peluang Binomial  ® b(x > 3; 5 000, 0.002)

tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus sangat tidak praktis.

p  =   0.002                                          n = 5 000         x>3

m  = n ´ p = 0.002 ´ 5 000 = 10

diselesaikan dengan peluang Poisson

® poisson (x > 3; 10) = 1 – poisson (x £ 3)

= 1 – [poisson (0;10) + poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10)

= 1 – [0.0000 +  0.0005 + 0.0023 ] = 1 – 0.0028 = 0.9972

Referensi/Bahan Bacaan :

  1. file://localhost/C:/Documents%20and%20Settings/Administrator/My%20Documents/88-poisson.html
  1. Bambang Kustituanto dan Rudy Badrudin, Statistika I, Seri Diktat Kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1994
  2. Haryono Subiyakto, Statistika 2, Seri Diktat Kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1994
  3. Levin, Richard dan David Rubin, Statistics for Management, Prentice Hall, New Jersey, 1991
  4. Ronald E Walpole, Pengantar Statistika, edisi terjemahan, PT Gramedia Jakarta, 1992

Post a Response

*
To prove you're a person (not a spam script), type the security word shown in the picture.
Anti-Spam Image